什么是转动惯量计算器？
转动惯量计算器求出刚体绕指定转轴的质量转动惯量，同时给出该物体的回转半径。选择形状与转轴，输入质量以及该形状所需的一到两个长度，计算器就会以千克·米² 给出 III，并以你选定的长度单位给出 kkk。
质量转动惯量是质量在转动中的对应量。质量表示物体抵抗直线运动变化的强弱，转动惯量表示物体抵抗转动变化的强弱。质量相同的两个物体，转动惯量可以相差很大，因为 III 不仅取决于有多少物质，还取决于这些物质离转轴有多远。把同样的质量往外移，物体就会明显更难加速、也更难刹住。
质量转动惯量不是截面惯性矩
这两个量在中文里都常被称作”惯性矩”或”转动惯量”，长期被混用，因此有必要把区别讲清楚。
质量转动惯量（本计算器）符号为 III，单位是千克·米²。它是物体与转轴的属性，包含质量，属于转动动力学：力矩、角加速度、转动动能与角动量。
截面惯性矩（可惜也写作 III）单位是米⁴，通常以毫米⁴ 给出。它只是截面的属性，完全不含质量，属于梁的弯曲：出现在挠度公式 δ=PL348EI\delta = \frac{P L^3}{48 E I}δ=48EIPL3 和弯曲应力 σ=McI\sigma = \frac{M c}{I}σ=IMc 中。
如果你的数值单位是米⁴ 或毫米⁴，而且你在选梁，那么你需要的是截面量，可用梁挠度计算器求得。如果你的数值单位是千克·米²，而且你要让某个东西转起来，那就来对地方了。
转动惯量为什么重要
每一条转动定律都是把 mmm 换成 III 的直线运动定律。牛顿第二定律 F=maF = maF=ma 变为
τ=Iα\tau = I \alphaτ=Iα
其中 τ\tauτ 是合力矩，α\alphaα 是角加速度。动能 12mv2\tfrac{1}{2}mv^221mv2 变为
Ek=12Iω2E_k = \frac{1}{2} I \omega^2Ek=21Iω2
动量 mvmvmv 则变为角动量 L=IωL = I\omegaL=Iω。由于三者都含有 III，它决定了电动机达到转速所需的力矩、飞轮能储存多少能量，以及花样滑冰运动员收臂时转得有多快。
这也正是滑冰运动员把手臂收向身体就会加速的原因。质量没有变，但更靠近转轴，因此 III 减小；角动量 IωI\omegaIω 守恒，所以 ω\omegaω 必然升高。
计算器如何工作？
选择物体与转轴。 转轴是选择的一部分，而不是附带项——同一根杆绕端点的转动惯量是绕中心的四倍。
输入质量。 可用千克、克、磅和盎司；计算器内部统一换算为千克。
输入该形状所需的几何量。 只显示相关字段：圆形物体用半径，圆管另加一个内半径，细杆用长度，矩形板用长度和宽度。
读取结果。 III 以千克·米² 给出，回转半径 kkk 以你选择的长度单位给出。
下面所有形状都假定物体均匀（密度恒定），并绕其名称中标明的转轴转动。
公式
物体与转轴转动惯量实心圆柱或圆盘，中心轴I=12mr2I = \tfrac{1}{2} m r^2I=21mr2薄圆环或圆箍，中心轴I=mr2I = m r^2I=mr2空心圆柱（圆管），中心轴I=12m(r12+r2)I = \tfrac{1}{2} m (r_1^2 + r^2)I=21m(r12+r2)实心球，绕直径I=25mr2I = \tfrac{2}{5} m r^2I=52mr2空心球（薄球壳），绕直径I=23mr2I = \tfrac{2}{3} m r^2I=32mr2细杆，绕中心I=112mL2I = \tfrac{1}{12} m L^2I=121mL2细杆，绕一端I=13mL2I = \tfrac{1}{3} m L^2I=31mL2矩形薄板，绕中心I=112m(L2+w2)I = \tfrac{1}{12} m (L^2 + w^2)I=121m(L2+w2)
其中：
mmm 是物体的质量，
rrr 是半径（对圆管为外半径，填入”半径 r”字段），
r1r_1r1 是圆管的内半径，
LLL 是细杆的长度，或矩形板的第一条边，
www 是矩形板的第二条边。
八个表达式的形式完全相同，都是 I=C m ℓ2I = C\,m\,\ell^2I=Cmℓ2，其中无量纲常数 CCC 记录了质量的分布方式。该常数从绕中心转动的细杆的 112\tfrac{1}{12}121（大部分质量靠近转轴）一直到圆箍的 111（每一克都位于完整半径处）。
矩形板公式对应绕垂直于板面并通过中心的轴的转动。请注意公式中没有厚度——质量相同、板面尺寸相同的薄板与较厚的板，绕该轴的 III 相同。
回转半径
回转半径 kkk 回答一个简洁的问题：把全部质量集中在离轴多远的某一个距离上，才能不改变 III？
k=Imk = \sqrt{\frac{I}{m}}k=mI
由于按定义 I=mk2I = m k^2I=mk2，kkk 剥去了质量，只留下关于形状的纯粹陈述。对圆箍而言 k=rk = rk=r 精确成立，因为质量确实全在轮缘上。对实心圆盘 k=r/2≈0.707 rk = r/\sqrt{2} \approx 0.707\,rk=r/2≈0.707r，对实心球 k=r2/5≈0.632 rk = r\sqrt{2/5} \approx 0.632\,rk=r2/5≈0.632r。
示例
实心圆盘。 一块质量 2 kg2 \, \text{kg}2kg、半径 0.5 m0.5 \, \text{m}0.5m 的砂轮绕自身轴转动：
I=12×2 kg×(0.5 m)2=0.25 kg⋅m2I = \frac{1}{2} \times 2 \, \text{kg} \times (0.5 \, \text{m})^2 = 0.25 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2I=21×2kg×(0.5m)2=0.25kg⋅m2
其回转半径随之得出：
k=0.252=0.125≈0.35355 mk = \sqrt{\frac{0.25}{2}} = \sqrt{0.125} \approx 0.35355 \, \text{m}k=20.25=0.125≈0.35355m
这是实际半径的 0.7070.7070.707 倍，正是实心圆盘应有的结果。
实心球。 一个质量 5 kg5 \, \text{kg}5kg、半径 0.2 m0.2 \, \text{m}0.2m 的球绕直径转动：
I=25×5 kg×(0.2 m)2=0.08 kg⋅m2I = \frac{2}{5} \times 5 \, \text{kg} \times (0.2 \, \text{m})^2 = 0.08 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2I=52×5kg×(0.2m)2=0.08kg⋅m2
k=0.085=0.016≈0.12649 mk = \sqrt{\frac{0.08}{5}} = \sqrt{0.016} \approx 0.12649 \, \text{m}k=50.08=0.016≈0.12649m
转轴决定一切。 一根质量 3 kg3 \, \text{kg}3kg、长 2 m2 \, \text{m}2m 的杆绕中心转动时 I=112×3×4=1 kg⋅m2I = \tfrac{1}{12} \times 3 \times 4 = 1 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2I=121×3×4=1kg⋅m2。把同一根杆铰接在一端，则 I=13×3×4=4 kg⋅m2I = \tfrac{1}{3} \times 3 \times 4 = 4 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2I=31×3×4=4kg⋅m2——同一块金属，数值大了四倍。
注意事项
转动惯量始终相对于某一具体的轴给出。不注明转轴的数值毫无意义。
这里所有公式都假定密度均匀。轮缘重、辐板轻的车轮，其 III 大于实心圆盘公式给出的值。
要移动转轴，请使用平行轴定理：I=Icm+md2I = I_{cm} + m d^2I=Icm+md2，其中 IcmI_{cm}Icm 是绕通过质心的平行轴的值，ddd 是两轴之间的距离。细杆结果 13mL2\tfrac{1}{3}mL^231mL2 正好等于 112mL2+m(L/2)2\tfrac{1}{12}mL^2 + m(L/2)^2121mL2+m(L/2)2。
绕同一转轴的转动惯量可以直接相加，因此复合物体可以逐块累加求得。
国际单位是千克·米²。工程资料有时使用 lb⋅ft2\text{lb}\cdot\text{ft}^2lb⋅ft2 或飞轮的简写 GD2GD^2GD2；比较数值前请先确认数据表采用哪种约定。
常见问题
转动惯量的单位是什么？
国际单位是千克·米²。它是质量乘以距离的平方，所以把车轮半径加倍会使转动惯量变为四倍，而把质量加倍只会使它变为两倍。
为什么必须指明转轴？
因为 III 衡量的是质量距离该轴有多远。移动转轴，求和中的每一段距离都会改变。一根 2 m2 \, \text{m}2m 的杆绕中点转动时，其转动惯量只有铰接在一端时的四分之一，尽管还是同一根杆。
同样大小的实心圆柱与圆箍有什么区别？
圆箍的转动惯量是两倍，mr2m r^2mr2 对 12mr2\tfrac{1}{2} m r^221mr2。圆箍的全部质量都位于完整半径处，而圆柱有大量材料靠近转轴，贡献很小。
列表中没有的形状该怎么处理？
把它拆成公式已知的若干部分，针对你关心的轴分别计算每一部分（部分偏离中心时使用平行轴定理），再把结果相加。绕同一转轴的转动惯量具有可加性。
回转半径是真实的物理距离吗？
它是真实的距离，但不是你能在物体上指出来的那种。它是质量相同、转动惯量也相同的假想薄圆箍的半径。工程上广泛用它来简明比较不同形状分配质量的效率。
转动惯量可能为零吗？
只有恰好位于转轴上的理想质点才可能，此时求和中的每一段距离都是零。任何有大小的真实物体，绕任意轴的转动惯量都是正值。
更多转动力学工具请访问 https://www.mega-calculator.com/zh/physics/moment-of-inertia/。